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天涯倦客的博客

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计算机二进制转换教程(转帖)  

2011-12-11 21:15:54|  分类: 算法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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进制转换教程

不同进制之间的转换纯粹是数学上的计算。不过,你不必担心会有么复杂,无非是乘或除的计算。

生活中其实很多地方的计数方法都多少有点不同进制的影子。

比如我们最常用的10进制,其实起源于人有10个指头。如果我们的祖先始终没有摆脱手脚不分的境况,我想我们现在一定是在使用20进制。

至于二进制……没有袜子称为0只袜子,有一只袜子称为1只袜子,但若有两袜子,则我们常说的是:1双袜子。

生活中还有:七进制,比如星期。十二进制,比如“一打”,六十进制,比如分钟……

 

1.1 十六进制数转换成十进制数

2进制,用两个阿拉伯数字:0、1;

8进制,用八个阿拉伯数字:0、1、2、3、4、5、6、7;

10进制,用十个阿拉伯数字:0到9;

16进制,用十六个阿拉伯数字……等等,阿拉伯人或说是印度人,只发明了10个数字啊?

 

16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这五个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……

所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。

假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?

 

用竖式计算:

 

2AF5换算成10进制:

 

第0位: 5 * (16的0次方) = 5

第1位: F * (16的1次方 )= 240

第2位: A * (16的2次方) = 2560

第3位: 2 * (16的3次方)= 8192 +

-------------------------------------

10997

直接计算就是:

5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997

(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)

 

现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。

假设有人问你,十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你尽可以给他这么一个算式:

1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0

 

2.6 十六进制数的表达方法

如果不使用特殊的书写形式,16进制数也会和10进制相混。随便一个数:9876,就看不出它是16进制或10进制。

C,C++规定,16进制数必须以 0x开头。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如:0xff,0xFF,0X102A,等等。其中的x也也不区分大小写。(注意:0x中的0是数字0,而不是字母O)

以下是一些用法示例:

 

int a = 0x100F;

int b = 0x70 + a;

 

至此,我们学完了所有进制:10进制,8进制,16进制数的表达方式。

2.7 十六进制数在转义符中的使用

 

转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如在6.2.4小节中说的 '?' 字符,可以有以下表达方式:

 

'?' //直接输入字符

'\77' //用八进制,此时可以省略开头的0

'\0x3F' //用十六进制

 

同样,这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数 '\0' 表示以外,我们很少用后两种方法表示一个字符。

 

2 十进制数转换到二、八、十六进制数

2.1 10进制数转换为2进制数

 

给你一个十进制,比如:6,如果将它转换成二进制数呢?

 

10进制数转换成二进制数,这是一个连续除2的过程:

把要转换的数,除以2,得到商和余数,

将商继续除以2,直到商为0。最后将所有余数倒序排列,得到数就是转换结果。

 

听起来有些糊涂?我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

 

“把要转换的数,除以2,得到商和余数”。

那么:

要转换的数是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余数是0。 (不要告诉我你不会计算6÷3!)

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3,还不是0,所以继续除以2。

那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

 

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是1,还不是0,所以继续除以2。

那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余数是1 (拿笔纸算一下,1÷2是不是商0余1!)

 

“将商继续除以2,直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

好极!现在商已经是0。

我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1,将所有余数倒序排列,那就是:110了!

 

6转换成二进制,结果是110。

 

把上面的一段改成用表格来表示,则为:

被除数

计算过程

余数

6

6/2

3

0

3

3/2

1

1

1

1/2

0

1

(在计算机中,÷用 / 来表示)

 

如果是在考试时,我们要画这样表还是有点费时间,所更常见的换算过程是使用下图的连除:

(图:1)

请大家对照图,表,及文字说明,并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。

说了半天,我们的转换结果对吗?二进制数110是6吗?你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了,所以请现在就计算一下110换成10进制是否就是6。

 

2.2 10进制数转换为8、16进制数

 

非常开心,10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,惟一变化:除数由2变成8。

 

来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。

 

用表格表示:

被除数

计算过程

余数

120

120/8

15

0

15

15/8

1

7

1

1/8

0

1

 

120转换为8进制,结果为:170。

 

非常非常开心,10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,惟一变化:除数由2变成16。

 

同样是120,转换成16进制则为:

被除数

计算过程

余数

120

120/16

7

8

7

7/16

0

7

 

120转换为16进制,结果为:78。

 

请拿笔纸,采用(图:1)的形式,演算上面两个表的过程。

 

3 二、十六进制数互相转换

 

二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见二进制数,直接就能转换为十六进制数,反之亦然。

我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。

首先我们来看一个二进制数:1111,它是多少呢?

你可能还要这样计算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:8、4、2、1。即,最高位的权值为23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。

 

记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。

 

下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值(中间略过部分)

 

仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B

1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9

....

0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

 

二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。

如(上行为二制数,下面为对应的十六进制):

 

1111 1101 , 1010 0101 , 1001 1011

F D , A 5 , 9 B

 

反过来,当我们看到 FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?

先转换F:

看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这五个数),然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全为1 :1111。

接着转换 D:

看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?应该是:8 + 2 + 1,即:1011。

所以,FD转换为二进制数,为: 1111 1011

 

由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。

比如,十进制数 1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。所以我们可以先除以16,得到16进制数:

被除数

计算过程

余数

1234

1234/16

77

2

77

77/16

4

13 (D)

4

4/16

0

4

 

结果16进制为: 0x4D2

 

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1011 0010。

其中对映关系为:

0100 -- 4

1011 -- D

0010 -- 2

 

同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数:

01101101 11100101 10101111 00011011

我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B

5 原码、反码、补码

 

结束了各种进制的转换,我们来谈谈另一个话题:原码、反码、补码。

 

我们已经知道计算机中,所有数据最终都是使用二进制数表达。

我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。

不过,我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。

 

比如,假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:

00000000 00000000 00000000 00000101

5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。

现在想知道,-5在计算机中如何表示?

 

在计算机中,负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢?这得从原码,反码说起。

 

原码:一个整数,按照绝对值大小转换成的二进制数,称为原码。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。

 

反码:将二进制数按位取反,所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

取反操作指:原为1,得0;原为0,得1。(1变0; 0变1)

比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111 11111111 11111111 11111010。

称:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。

反码是相互的,所以也可称:

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。

 

补码:反码加1称为补码。

也就是说,要得到一个数的补码,先得到反码,然后将反码加上1,所得数称为补码。

比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是:11111111 11111111 11111111 11111010。

那么,补码为:

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

 

所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。

 

再举一例,我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型,那么:

 

1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110

3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111

 

可见,-1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF

****************************************************************************End**************************************

From:http://blog.163.com/pants_script/blog/static/27921076200732623920718/

来自: http://hi.baidu.com/atixujie/blog/item/d1554f8d48eff410b31bba96.html
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